תרגילהנדסה אנליטית 572 · שיעור 72
הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572
שיעור 72: תרגיל
פרק 7: אליפסה
1🔵 סעיף א: סכום המרחקים מנקודה על האליפסה למוקדים r₁ + r₂ = 2a
2🟢 סעיף ב: נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני
נתונה האליפסה 16x² + 25y² = 400.
א. מצא את סכום המרחקים מנקודה כלשהי על האליפסה למוקדים.
ב. מצא נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי הוא פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני.
א. מצא את סכום המרחקים מנקודה כלשהי על האליפסה למוקדים.
ב. מצא נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי הוא פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני.
r₁ = PF₁ (אל המוקד השמאלי), r₂ = PF₂ (אל המוקד הימני)
r₁ + r₂ = 2a c² = a² − b²
🔵 סעיף א: סכום המרחקים מנקודה על האליפסה למוקדים r₁ + r₂ = 2a
מצא את סכום המרחקים מנקודה כלשהי על האליפסה למוקדים.
הסכום PF₁ + PF₂ = r₁ + r₂ = 2a – אורך הציר הגדול, לכל נקודה על האליפסה.
מחלקים את המשוואה ב־400:
16x²400 + 25y²400 = 1
x²25 + y²16 = 1
a² = 25
a = 5
r₁ + r₂ = 2a = 10
✅ r₁ + r₂ = 10
🟢 סעיף ב: נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני
מצא נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי הוא פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני.
הרדיוסים: r₁ = 3r₂
3r₂ + r₂ = 10
4r₂ = 10
r₂ = 2.5 r₁ = 7.5
המוקדים: c² = 25 − 16 = 9
c = 3 : F₁(−3,0) , F₂(3,0)
נוסחת המרחק מהנקודה P(x,y) לכל מוקד:
r₁ = √(x + 3)² + (y − 0)²
r₁ = 7.5
r₂ = √(x − 3)² + (y − 0)²
r₂ = 2.5
🟢 סעיף ב: נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני · המשך
r₂ = 2.5
מחלקים את המשוואה הראשונה בשנייה:
√(x + 3)² + y²√(x − 3)² + y² = 3
כפל בהצלבה והעלאה בריבוע:
(x + 3)² + y²
= 9[(x − 3)² + y²]
x² + 6x + 9 + y²
= 9x² − 54x + 81 + 9y²
ה־y² לא מתבטל (באגף ימין 9y²). מעבירים הכול לצד אחד:
0 = 8x² − 60x + 72 + 8y²
מחלקים ב־4:
🟢 סעיף ב: נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני · המשך
מחלקים ב־4:
2x² − 15x + 18 + 2y² = 0
P על האליפסה, לכן מהמשוואה שלה:
y² = 16 − 16x²25
מציבים:
2x² − 15x + 18
+ 32 − 32x²25 = 0
כופלים ב־25:
18x² − 375x + 1250 = 0
x = 416 x = 1623
🟢 סעיף ב: נקודה על האליפסה שמרחקה מהמוקד השמאלי פי 3 ממרחקה מהמוקד הימני · המשך
x = 416 x = 1623
הפתרון x = 1623 נפסל: הוא גדול מ־a = 5 ואין לו y.
מציבים x = 256 :
y² = 16 − 1625 · 62536
y² = 449
y = ±2√113
האליפסה סימטרית לציר x – לכן יש שתי נקודות כאלה.
✅ (256 , 2√113) , (256 , −2√113)
📌 לזכור
💡 r₁ + r₂ = 2a לכל נקודה על האליפסה. כשנתון יחס בין הרדיוסים – מוצאים כל רדיוס, ואז את הנקודה מנוסחת המרחק יחד עם משוואת האליפסה. בבדיקה: PF₁ = 7.5 , PF₂ = 2.5 ✓
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא